Beiträge zur Selbstaffinität konvexer Polygone

Ein konvexes Polygon P ist k-selbstaffin (bzw. k-selbstähnlich), wenn es in k 2 Polygone zerlegt werden kann, die affingleich (bzw. ähnlich) zu P sind. Es ist bewiesen, dass P dann nur höchstens fünf Ecken besitzen kann. Dabei ist bekannt, dass jedes Dreieck selbstähnlich und jedes konvexe Viereck selbstaffin ist. Weiterhin weiß man, dass einerseits ein selbstaffines konvexes Fünfeck existiert, aber andererseits das reguläre Fünfeck nicht selbstaffin ist. In dieser Arbeit wird nun zunächst gezeigt, dass jedes Fünfeck, dessen Innenwinkelgrößen alle 108° betragen, nicht selbstaffin ist. Daraufhin werden Überlegungen dargestellt, dass ein Fünfeck ebenfalls nicht selbstaffin ist, wenn die Innenwinkelgrößen leicht von 108° abweichen. Desweiteren besteht die Vermutung, dass kein selbstähnliches konvexes Fünfeck existiert. Die Innenwinkelgrößen, die ein solches haben müsste, sind bereits be- kannt. Ebenfalls ist die Reihenfolge der Winkel bewiesen, jedoch bleiben dabei zwei mögliche Orientierungen übrig. Es wird gezeigt, dass die Fünfecke, in die das ursprüngliche Fünfeck zerlegt ist, nicht alle gleichorientiert sein können.

Autorentext

Katharina Blechschmidt, Jahrgang 1988, studiert seit 2009 Mathematik an der Friedrich-Schiller-Universität Jena, wo sie 2012 diese Arbeit zur Erlangung des Bachelor of Science verfasste.