Differenzialgleichungen für Dummies

In diesem Buch lernen Sie, wie Sie mit Differenzialgleichungen aller Schwierigkeitsstufen umgehen: Sie starten mit Differenzialgleichungen erster Ordnung und erfahren, was mit separierbaren Differenzialgleichungen zu tun ist und was exakte Differenzialgleichungen sind. Anschließend begegnen Ihnen lineare homogene und lineare inhomogene Differenzialgleichungen höherer Ordnung. Lernen Sie die Methode der unbestimmten Koeffizienten und die Methode der Parametervariation kennen. Den wirklich schweren Brocken rücken Sie mit Laplace-Transformationen und Reihenlösungen zu Leibe. Und wenn gar nichts mehr geht, bleiben Ihnen ja immer noch die numerischen Lösungen. Sie funktionieren fast immer.

Autorentext
Steven Holzner hat mehr als 130 Bücher zu naturwissenschaftlichen, mathematischen, betriebswirtschaftlichen und IT-Themen geschrieben. Er war Professor am MIT und an der Cornell University.
Timm Sigg ist Professor für Mathematik an der Hochschule für Technik Stuttgart. In seinem eigenen Kabarettprogramm »Die Leiden des jungen Professors« besingt er unter anderem seine Liebe zum Hörsaal in Reimform.

Inhalt

Einleitung 17

Über dieses Buch 17

Konventionen in diesem Buch 17

Was Sie nicht lesenmüssen 18

Törichte Annahmen über den Leser 18

Wie dieses Buch aufgebaut ist 18

Teil I: Was Sie alles brauchen - die Zutaten 19

Teil II: Es wird spannend - Differenzialgleichungen erster Ordnung 19

Teil III: Differenzialgleichungen höherer Ordnung und fortgeschrittene Techniken 19

Teil IV: Der Top-Ten-Teil 20

Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 20

Wie es weitergeht 20

Teil I Was Sie Alles Brauchen - Die Zutaten 21

Kapitel 1 Differenzieren - die wichtigste Tätigkeit in diesem Buch 23

Was ist denn eine Ableitung? 23

Schreibweisen der ersten Ableitung 25

Schreibweise der höheren Ableitungen 25

Ableitungen der elementaren Funktionen 26

Ableitungsregeln 28

Summen- und Faktorregel 28

Produktregel 28

Quotientenregel 30

Kettenregel 31

Alles zusammen 37

Kapitel 2 Integrieren - genauso wichtig wie das Differenzieren 39

Unbestimmtes Integral 39

Schreibweise mit Schlangenzeichen 42

Bestimmtes Integral 43

Drei Methoden, mit denen Sie (fast) jedes Integral knacken 45

Integration durch Substitution 45

Substitution am bestimmten Integral 46

Substitution am unbestimmten Integral 47

Partielle Integration 48

Partielle Integration - die Vorgehensweise 49

Integralberechnung mittels Partialbruchzerlegung 51

Partialbruchzerlegung - die Vorgehensweise 51

Kapitel 3 Komplexe Zahlen? Ja! Komplexe Sache? Nein! 59

Was sind komplexe Zahlen? 60

Die drei Darstellungen 63

Die kartesische Darstellungmit x und y 63

Die Polardarstellung mit r, **, Sinus und Kosinus 64

Die exponentielle Darstellung mit r, **und der e-Funktion 65

Umrechnung der Darstellungen 65

Umrechnung von (exponentiell beziehungsweise polar) in kartesisch 66

Umrechnung von kartesisch in (exponentiell beziehungsweise polar) 66

Rechnenmit komplexen Zahlen 67

Die konjugiert komplexe Zahl 68

Das Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen 69

Das Multiplizieren komplexer Zahlen 69

Das Dividieren komplexer Zahlen 70

Das Potenzieren komplexer Zahlenmit reellen Potenzen 71

Die n Lösungen der Gleichung zn = w 71

Die zwei Lösungen der Mitternachtsformel 73

Kapitel 4 Matrizen und nicht Matratzen 75

Grundlegendes zu den Matrizen 76

Rechnenmit Matrizen 77

Addieren und Subtrahieren von Matrizen 77

Multiplizieren von Matrizen 77

Determinante 81

Berechnung einer (2 × 2)-Determinante 81

Berechnung einer (3 × 3)-Determinante 82

Sarrus-Regel 82

Berechnung einer (n × n)-Determinante 85

Inverse Matrix 86

Kapitel 5 Eigenwertprobleme sind keine Probleme 89

Was sind Eigenwertprobleme, wenn es keine Probleme sind? 89

Berechnung der Eigenwerte 90

Berechnung von Eigenvektoren 92

Berechnung reeller Eigenvektoren 92

Berechnung komplexer Eigenvektoren 95

Teil II ES Wird Spannend - Differenzialgleichungen Erster Ordnung 97

Kapitel 6 Was sind Differenzialgleichungen? 99

Ableitungen, Steigungen, Krümmungen 100

Ort - Geschwindigkeit - Beschleunigung 102

Differenzialgleichungen - Anfangswertprobleme - Randwertprobleme 109

Unterschied zwischen der allgemeinen Lösung und der Lösung eines Anfangswertproblems 111

Differenzialgleichungssysteme 112

Gekoppelte Differenzialgleichungen 113

Lineare Systeme - Matrizen 114

Kapitel 7 Für jede Differenzialgleichung eine passende Schublade.117

Differenzialgleichungen klassifizieren 117

Gewöhnlich versus partiell 118

Linearität 118

Homogenität 119

Ordnung 120

Beispiele 121

Differenzialgleichungssysteme klassifizieren 122

Kapitel 8 Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung 125

Grundlagen für die Lösung linearer Differenzialgleichungen erster Ordnung 126

Das große Ganze mithilfe der Richtungsfelder erkennen 126

Ein Richtungsfeld zeichnen 126

Verbindung von Steigungen zu einer Integralkurve 127

Erkennen des Gleichgewichtswerts 129

Anfangsbedingungen von Anfang an anwenden 129

Und jetzt lösen wir Differenzialgleichungen mit Funktionen 131

Und jetzt nehmen wir ein paar Konstanten dazu 131

Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung mithilfe von Integrationsfaktoren lösen 132

Nach einem Integrationsfaktor suchen 132

Mithilfe eines Integrationsfaktors eine Differenzialgleichung lösen 133

Der nächste Schritt: Integrationsfaktoren in Differenzialgleichungen mit Funktionen einsetzen 134

Und jetzt eine ganz besondere Abkürzung! 135

Ein fortgeschrittenes Beispiel lösen 137

Prüfen, ob eine Lösung für eine Differenzialgleichung erster Ordnung existiert 140

Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz für lineare Differenzialgleichungen 140

Die allgemeine Lösung finden 141

Ein paar Beispiele für Existenz und Eindeutigkeit 142

Feststellen, ob es eine Lösung für eine nichtlineare Differenzialgleichung gibt 143

Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz für nichtlineare Differenzialgleichungen 144

Beispiele für den Existenz- und Eindeutigkeitssatz für nichtlineare Differenzialgleichungen 144

Kapitel 9 Separierbare Differenzialgleichungen erster Ordnung 147

Die Grundlagen separierbarer Differenzialgleichungen 148

Einfach anfangen: Lineare separierbare Gleichungen 149

Implizite Lösungen 149

Explizite Lösungen aus impliziten Lösungen ableiten 151

Schwer zu knacken: Wann es keine explizite Lösung gibt 154

Trick: Nichtlineare separierbare Gleichungen in lineare separierbare Gleichungen umwandeln 155

Einige separierbare Gleichungen aus der Praxis 157

Ein Flussproblem in den Griff bekommen 157

Eine monetäre Aufgabenstellung 160

Partialbrüche in separierbaren Gleichungen 164

Kapitel 10 Exakte Differenzialgleichungen erster Ordnung und die Euler-Methode 167

Grundlagen exakter Differenzialgleichungen 167

Exakte Differenzialgleichungen definieren 168

Eine typische exakte Differenzialgleichung berechnen 169

Feststellen, ob eine Differenzialgleichung exakt ist 170

Einen praktischen Satz ausprobieren 170

Den Satz anwenden 171

Nicht exakte Differenzialgleichungen mit Integrationsfaktoren bezwingen 173

Einen Integrationsfaktor finden 174

Mithilfe eines Integrationsfaktors eine exakte Gleichung erhalten 176

Der letzte Schliff: Die exakte Gleichung lösen 177

Mit der Euler-Methode numerisch werden 178

Die Methode verstehen 178

Die Genauigkeit der Methode auf einem Computer überprüfen 180

Differenzengleichungen 186

Ein bisschen praktische Terminologie 186

Iterative Lösungen 187

Gleichgewichtslösungen 188

Teil III Differenzialgleichungen Höherer Ordnung Und Fortgeschrittene Techniken.191

Kapitel 11 Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten 193

Grundlegendes und Wissenswertes 194

Stufe 1: Die allgemei…