Endvertauschbare Anordnungen und die Struktur der Einheitengruppen modularer Gruppenalgebren; mit 167 Übungsaufgaben

In dieser Arbeit studieren wir Einheitengruppen modularer Gruppenalgebren KG. Für die Untersuchung ihres Zentrums entwickeln wir das Konzept der sogenannten endvertauschbaren Anordnung von Algebren- Elementen. Daraus leiten wir auf einfache Weise ab, wie der Exponent des Zentrums allein durch Berechnungen innerhalb der Gruppe G ermittelt werden kann. Anschließend bestimmen wir diesen zum Beispiel für direkte Produkte mit vereinigten zentralen Untergruppen und für Kranzprodukte und geben eine Beschreibung der Gruppen an, für die jener Exponent extremal wird. Das Konzept der endvertauschbaren Anordnung erlaubt neben der Berechnung des Exponenten von Z(rad(KG)) auch (im Falle eines endlichen Körpers K) die Ermittlung der Invarianten dieser abelschen p-Gruppe. Für diese geben wir zwei Beschreibungen an.

Autorentext

Sven Bodo Wirsing was born in 1975 in Neumünster. After graduating from high school at KKS in Itzehoe (with a focus on mathematics and physics), he studied mathematics with a minor in business administration (especially logistics) at CAU university in Kiel. He did his doctorate in 2005 on group and algebra theory. During his years of study in Kiel he gained experience in the analysis of interdisciplinary processes, which are reflected in different disciplines of algebra, such as group theory, representation theory, theory of Lie and associative algebras. From this experience, he also studied and analyzed the subject matter of the present work. Since the end of his doctorate, Dr. Wirsing has been working as a senior IT consultant for logistics processes at several renowned companies where he is responsible for logistics optimization and maintenance. Since 2012 he has published several books on algebras.

Leseprobe
Textprobe:
Einleitung
Die Gruppentheorie hat sich über Jahrzehnte zu einem zentralen Gebiet der Algebra entwickelt. Neben spezifisch gruppentheoretischen Methoden werden auch Methoden aus anderen Bereichen der Algebra zur Klärung der Struktur von Gruppen eingesetzt. An vorderer Stelle sind hier etwa die Darstellungstheorie und die damit eng verknüpfte Charaktertheorie zu nennen. Das genaue Studium der Gruppenalgebra ist die Quelle der Einsichten über Moduln und Charaktere, die jene Theorien so überaus erfolgreich machen. Es ist daher seit langem zu einem inhaltsreichen Forschungsgebiet von eigenständigem Interesse innerhalb der Algebrentheorie geworden (S. Jennings [14], 1941 und D.S. Passman [19], 1977). Ob eine Gruppenalgebra über einem Körper K halbeinfach ist oder der modulare Fall vorliegt, lässt sich bekanntlich nach dem Satz von Maschke an der Charakteristik von K erkennen. Die vorliegende Arbeit widmet sich dem Studium der Einheitengruppen von Gruppenalgebren über p -Gruppen und Körpern der Charakteristik p. Die Struktur der Einheitengruppe der Gruppenalgebra wurde für abelsche p -Gruppen und endliche Körper der Charakteristik p von R. Sandling in [22], von A. Albrecht in [1] sowie von A.A. Bovdi und A. Szakacs in [6] behandelt. Ein Ziel der vorliegenden Arbeit ist die Untersuchung des Zentrums der Einheitengruppe E(KG) = (1G+rad(KG)) (Knf0Kg) 1G der Gruppenalgebra KG für eine nicht-abelsche p -Gruppe G und einen Körper K der Charakteristik p. In Verallgemeinerung eines Resultats von K.R. Pearson [20] zeigen wir im ersten Kapitel für eine beliebige Untergruppe U von G zunächst, da Z(G) U das Herz von U in 1G + rad(KG) ist (1.2.3). Der Normalisator von U in 1G +rad(KG) ist durch NG(U) C1G+rad(KG)(U) gegeben, wie im Anschlu bewiesen wird (1.3.6). Der Spezialfall U = G findet sich bereits in einer Arbeit von D.B. Coleman ([8]). Unser Zugang zum Zentrum von E(KG) verwendet das { in dieser Arbeit entwickelte { Konzept der sogenannten ,,endvertauschbaren Anordnung" von Algebren-Elementen, das im zweiten Kapitel vorgestellt wird. Wir zeigen in 2.3.6, da eine endliche Gruppe G genau dann nilpotent ist, wenn jede Konjugiertenklasse von G endvertauschbar angeordnet werden kann. Darüber hinaus erhalten wir in 2.1.5 auf einfache Weise für endvertauschbar angeordnete K-Algebren-Elemente a1; : : : ; an die wichtige Identität ( Pn i=1 ai) pr = Pn i=1 a pr i (p = char(K); r 2 N). Für den { auch für unsere Zwecke { besonders interessierenden Fall, da fa1; : : : ; ang eine Konjugiertenklasse einer endlichen p-Gruppe G ist, haben A.A. Bovdi und Z. Patay in [3] diese bereits auf andere Weise hergeleitet. Als Anwendung erhalten wir einen Satz derselben Autoren, der zeigt, da und wie sich der Exponent von Z(1G + rad(KG)) allein durch Berechnungen innerhalb der Gruppe G bestimmen lässt (2.4.8). Schließlich beweisen wir als Vorbereitung auf Kapitel 3 einige Abschätzungen für diesen Exponenten. Die Zahl jGj p2 ist der maximal mögliche Wert, den der Exponent von Z(1G + rad(KG)) für eine nicht-abelsche p -Gruppe G annehmen kann (2.5.3). In Abschnitt 1 von Kapitel 3 gelingt es uns, die Gruppen zu beschreiben, bei denen dieser Maximalwert angenommen wird: Entweder ist das Zentrum von G zur zyklischen Gruppe der Ordnung jGj p2 isomorph oder es gibt eine zyklische maximale Untergruppe in G (3.1.6). Die Gruppen, für die das Zentrum von 1G+rad(KG) elementar-abelsch ist, k onnen wir andererseits in Abschnitt 2 von Kapitel 3 wie folgt kennzeichnen: Das Zentrum von G ist elementar-abelsch, und für alle g 2 G n Z(G) gilt CG(g) CG(gp) (3.2.1). Zum Beispiel erfüllen die p -Sylow-Untergruppen von GL(n;GF(pk)) diese Bedingungen (3.2.2.6). In diversen interessanten Fällen ist der Exponent von Z(1G + rad(KG)) einfach gleich dem von Z(G): Wir beweisen dies für p -Gruppen G, für die exp(G=Z(G)) _ exp(Z(G)) gilt (3.2.3) sowie { mit ganz anderer Begründung { für reguläre p -Gruppen (3.2.5). In den weiteren Abschni