Höhere Mathematik für Dummies

Physik ohne Mathematik, das ist unmöglich. Aber wenn Sie Ihre liebe Mühe mit Mathe haben, dann hilft Ihnen dieses Buch, ganz gleich aus welchem Grund Sie sich mit Physik beschäftigen müssen: als Studienanfänger der Physik, als Student der Ingenieurwissenschaften oder der Medizin. Dieses Buch erklärt Ihnen, was Sie über einfache, komplexe und mehrdimensionale Analysis, Differentialgleichungen und Lineare Algebra wissen sollten. Zahlreiche Beispiele machen die Erläuterungen noch anschaulicher.

Autorentext
Dr. Thoralf Räsch ist Akademischer Oberrat am Mathematischen Institut der Universität Bonn und unterrichtet Mathematik in den naturwissenschaftlichen Bachelorstudiengängen. Darüber hinaus überzeugt er in verschiedenen Projekten in Berlin und Bonn interessierte Schüler von der Faszination der Mathematik. Thoralf Räsch studierte an der Humboldt-Universität zu Berlin und promovierte am Institut für Mathematik an der Universität Potsdam. Er ist Autor von "Mathematik für Naturwissenschaftler für Dummies".

Inhalt

Über den Autor 23

Danksagung 23

Einleitung 25

Ein leicht verständlicher Einstieg in die höhere Mathematik anhand von Beispielen 25

Überall praktische Beispiele 26

Törichte Annahmen über den Leser 26

Konventionen in diesem Buch 27

Wie dieses Buch strukturiert ist 27

Teil I: Eindimensionale Analysis 27

Teil II: Lineare Algebra 28

Teil III: Komplexe Analysis und Differentialgleichungen 28

Teil IV: Mehrdimensionale Analysis 28

Teil V: Der Top-Ten-Teil 29

Die Symbole in diesem Buch 29

Den modularen Aufbau für sich nutzen 29

Teil I Eindimensionale Analysis 31

Kapitel 1 Grundlagen der Analysis 33

Was Funktionen eigentlich sind 33

Graphische Darstellung von Funktionen 35

Polynome einfach verstehen 36

Bruchrechnung: Rationale Funktionen 39

Rasch Wachsende Exponentialfunktionen 40

Umgekehrt betrachtet: Logarithmusfunktionen 41

Von Umkehr- und Inversen Funktionen 43

Trigonometrische Funktionen 44

Trigonometrische Funktionen zeichnen 45

Identifikation mit trigonometrischen Identitäten 46

Grenzwerte einer Funktion Verstehen 46

Drei Funktionen erklären den Grenzwertbegriff 47

Links- und rechtsseitige Grenzwerte 48

Die formale Definition eines Grenzwertes - wie erwartet! 48

Unendliche Grenzwerte und Vertikale Asymptoten 49

Grenzwerte für x gegen unendlich 50

Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen 50

Einfache Grenzwerte auswerten 53

Einfachste Methode: Einsetzen und Auswerten 53

Echte Aufgabenstellungen mit Grenzwerten 54

Methode 1: Faktorisieren 54

Methode 2: Konjugierte Multiplikation 54

Methode 3: Einfache algebraische Umformungen 55

Methode 4: Das Grenzwert-Sandwich 56

Grenzwerte bei unendlich auswerten 57

Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten 58

Algebraische Tricks für Grenzwerte bei unendlich verwenden 59

Kapitel 2 Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen 61

Erste Schritte des Ableitens 62

Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert 62

Grundlegende Regeln der Differentiation 64

Die Konstantenregel 64

Die Potenzregel 64

Die Koeffizientenregel 65

Die Summenregel - und die kennen Sie schon 65

Trigonometrische Funktionen differenzieren 65

Exponentielle und logarithmische Funktionen differenzieren 66

Fortgeschrittene Regeln der Differentiation 67

Die Produktregel 67

Die Quotientenregel 67

Die Kettenregel 68

Implizite Differentiation 71

Logarithmische Differentiation 72

Differentiation von Umkehrfunktionen 73

Keine Angst vor höheren Ableitungen 75

Kurvendiskussion: Extrem-, Wende- und Sattelpunkte 76

Berg und Tal: Positive und negative Steigungen 76

Bauchgefühle: Konvexität und Wendepunkte 77

Am Tiefpunkt angelangt: Ein lokales Minimum 77

Atemberaubender Blick: Das globale Maximum 78

Achtung - Nicht auf der Spitze stecken bleiben 78

Halten Sie sich fest - nun geht's bergab! 78

Jetzt wird's kritisch an den Punkten! 78

Lokale Extremwerte finden 79

Die kritischen Werte suchen 80

Der Test mit der ersten Ableitung - wachsend oder fallend? 81

Der Test mit der zweiten Ableitung - Krümmungsverhalten! 82

Globale Extremwerte finden 83

Konvexität und Wendepunkte praktisch bestimmen 85

Die Graphen von Ableitungen - jetzt wird gezeichnet! 87

Der Zwischenwertsatz - Es geht nichts verloren 90

Der Mittelwertsatz - Es bleibt Ihnen nicht(s) erspart! 92

Das nützliche Taylorpolynom 93

Die Regel von l'Hospital 96

Nicht akzeptable Formen in Form bringen 98

Kombinieren der Methoden - nur Geduld! 98

Kapitel 3 Von Folgen und Reihen 101

Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht 101

Folgen aneinanderreihen 102

Konvergenz und Divergenz von Folgen 103

Grenzwerte mit Hilfe der Regel von l'Hospital bestimmen 104

Reihen summieren 105

Partialsummen 105

Konvergenz oder Divergenz einer Reihe 105

Konvergenz oder Divergenz? Das ist hier die Frage! 107

Das einfachste Kriterium auf Divergenz: Eine notwendige Bedingung 107

Drei grundlegende Reihen und die zugehörigen Prüfungen auf Konvergenz beziehungsweise Divergenz 108

Geometrische Reihen 108

Harmonische Reihe 109

Teleskop-Reihen 110

Drei Vergleichskriterien für Konvergenz beziehungsweise Divergenz 111

Der direkte Vergleich - Minoranten-/Majorantenkriterium 111

Das Grenzwertkriterium 112

Quotienten- und Wurzelkriterium 114

Das Quotientenkriterium 114

Das Wurzel-Kriterium 115

Alternierende Reihen 116

Absolute oder normale Konvergenz - das ist die Frage! 116

Leibniz und das Kriterium für alternierende Reihen 117

Ableitungen und Integrale für Grenzprozesse nutzen 120

Eine erste spezielle Reihenart, die Potenzreihen 122

Potenzreihen (er)kennen 122

Konvergenzbereich von Potenzreihen 123

Rechnen Sie mit Potenzreihen 124

Eine zweite spezielle Reihenart, die Taylorreihen 125

Kapitel 4 Eindimensionale Integration 127

Das bestimmte Integral - Flächen berechnen 127

Stammfunktionen suchen - rückwärts ableiten 129

Flächenfunktionen beschreiben 130

Achtung Tusch: Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 131

Der andere Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 132

Stammfunktionen finden - Drei grundlegende Techniken 135

Umkehrregeln für Stammfunktionen 135

Umkehrregeln zum Aufwärmen 135

Die umgekehrte Potenzregel 135

Genial einfach: Raten und Prüfen 136

Die Substitutionsmethode 137

Flächen mithilfe von Substitutionsaufgaben bestimmen 140

Partielle Integration: Teile und Herrsche! 141

Wählen Sie weise! 143

Partielle Integration: Immer wieder dasselbe! 144

Im Kreis gelaufen und doch am Ziel 145

Integrale mit Sinus und Kosinus 146

Fall 1: Die Potenz vom Sinus ist ungerade und positiv 146

Fall 2: Die Potenz vom Kosinus ist ungerade und positiv 147

Fall 3: Die Potenzen von Sinus und Kosinus sind gerade aber nicht negativ 147

Integrieren mit dem A-B-C der Partialbrüche 148

Fall 1: Der Nenner enthält nur lineare Faktoren 149

Fall 2: Der Nenner enthält nicht zu kürzende quadratische Faktoren 150

Fall 3: Der Nenner enthält lineare oder quadratische Faktoren in höherer Potenz 151

Bonusrunde - Der Koeffizientenvergleich 152

Integrale rationaler Funktionen von Sinus und Kosinus 153

Grau ist alle Theorie - Praktische Integrale! 153

Die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen 154

Bogenlängen bestimmen 156

Oberflächen von einfachen Rotationskörpern bestimmen 158

Teil II Lineare Algebra 161

Kapitel 5 Die Grundlagen: Vektorräume und lineare Gleichungssysteme 163

Vektoren erleben 163

Vektoren veranschaulichen 164

Mit Vektoren anschaulich rechnen 166

Mit Vektoren rechnen 167

Betrag eines Vektors berechnen 170

Das Skalarprodukt von Vektoren berechnen 171

Schöne Vektorraumteilmengen: Untervektorräume bestimmen 174

Vektoren und ihre Koordinaten bestimmen 176

Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum 179 …