Algorithmische Zahlentheorie

Das Buch gibt eine Einführung in die Zahlentheorie bis hin zu den quadratischen Zahlkörpern. Dabei wird durchgehend auch der algorithmische Aspekt betrachtet. So werden Existenzsätze (z.B. für die Darstellung von Primzahlen der Form p=4n+1 als Summe von zwei Quadratzahlen) stets durch Algorithmen zur Konstruktion ergänzt. Neben den klassischen Inhalten der elementaren Zahlentheorie werden in dem Buch u.a. auch die Multiplikation großer ganzer Zahlen mittels der schnellen Fourier-Transformation sowie Faktorisierung ganzer Zahlen mit elliptischen Kurven behandelt.

Für die Neuauflage wurden bekannt gewordene Fehler der ersten Auflage korrigiert und an mehreren Stellen Umarbeitungen vorgenommen. Außerdem gibt es neue Abschnitte über die Faktorisierung mit dem Quadratischen Sieb, den Diskreten Logarithmus (der in der Kryptographie eine große Rolle spielt) sowie über den deterministischen AKS-Primzahltest mit polynomialer Laufzeit. Damit der Leser die Algorithmen auf seinem Laptop oder PC auch konkret testen kann, werden die Algorithmen in einem pascalähnlichen Code für den vom Autor entwickelten Multipräzisions-Interpreter ARIBAS beschrieben, der zum kostenlosen Download zur Verfügung steht.

Autorentext

Prof. Dr. Otto Forster, Mathematisches Institut der Ludwig-Maximilians-Universität München, ist Autor der bekannten Lehrbücher Analysis 1-3.

Zusammenfassung
"... Dieser Band kann allen sehr empfohlen werden, die die Grundlagen der Computational Number Theory kennen lernen wollen." (C. Baxa, in: Monatshefte für Mathematik, Jg. 186, Heft 3, 2018)

Inhalt
Die Peano-Axiome.- Die Grundrechnungs-Arten.- Die Fibonacci-Zahlen.- Der Euklidische Algorithmus.- Primfaktor-Zerlegung.- Der Restklassen-Ring Z/mZ.- Die Sätze von Fermat, Euler und Wilson.- Primitivwurzeln.- Pseudo-Zufalls-Generatoren.- Zur Umkehrung des Satzes von Fermat.- Quadratische Reste, quadratisches Reziprozitäts-Gesetz.- Probabilistische Primzahltests.- Die Pollard'sche Rho-Methode.- Die (p-1)-Faktorisierungs-Methode.- Das RSA-Kryptographie-Verfahren.- Quadratische Erweiterungen.- Der (p+1)-Primzahltest, Mersenne'sche Primzahlen.- Die (p+1)-Faktorisierungs-Methode.- Schnelle Fourier-Transformation.- Faktorisierung mit dem quadratischen Sieb.- Der diskrete Logarithmus.-Elliptische Kurven.- Faktorisierung mit elliptischen Kurven.- Quadratische Zahlkörper.- Der Vier-Quadrate-Satz von Lagrange.- Kettenbrüche.- Die Pell'sche Gleichung.- Idealklassen quadratischer Zahlkörper.- Faktorisierung mit der Klassengruppe.- Der AKS-Primzahltest.- Kurzanleitung für Aribas.