Grundlagen der Analysis für Dummies

Auf Kriegsfuß mit der Analysis stehen, ist keine Schande. Wenn man sie aber beherrschen muss, hilft das nicht viel. Aber es gibt Abhilfe: Dieses Buch erklärt Ihnen die Grundlagen der Analysis aus den Klassen 8-10 und liefert Ihnen so ein Fundament, auf dem Sie Ihre weiteren Rechenkünste aufbauen können. So erfahren Sie, was Sie über lineare, quadratische, exponentielle, logarithmische und trigonometrische Funktionen wissen müssen, um in der Analysis bestehen zu können. Außerdem erklären Ihnen die Autoren die ersten Schritte in Differentation und Integration und zur Auswertung der Grenzwerte. So gerüstet, können Sie sich getrost der Analysis stellen.

Autorentext
Krystle Rose Forseth ist Leiterin der Mathematik-Abteilung im Fusion Learning Center und der Fusion Academy. Christopher Burger lehrt seit über zehn Jahren Mathematik und arbeitet ebenfalls am Fusion Learning Center. Michelle Rose Gilman ist Geschäftsführerin des Fusion Learning Center.

Inhalt

Einführung 19

Über dieses Buch 19

Konventionen in diesem Buch 20

Törichte Annahmen über den Leser 20

Aufbau dieses Buches 21

Teil I: Aufstellen, Lösen, Zeichnen 21

Teil II: Die wichtigsten Grundlagen der Trigonometrie 21

Teil III: Analytische Geometrie und die Lösung von Gleichungssystemen 21

Teil IV: Der Teil der Zehn 22

Symbole in diesem Buch 22

Wie es weitergeht 23

Teil I Aufstellen, Lösen, Zeichnen 25

Kapitel 1 Themen aus der Mathematik vor den Grundlagen der Analysis 27

Grundlagen der Analysis: Ein Überblick 27

Zahlengrundlagen (und nein, hier wird nicht gezählt!) 29

Die Vielfalt der Zahlentypen: Begriffe, die Sie kennen sollten 29

Die grundlegenden Operationen für Zahlen 30

Die Eigenschaften von Zahlen: Was Sie sich unbedingt merken sollten! 31

Mathematische Aussagen in sichtbare Form bringen: Spaß mit Graphen 32

Grundlegende Begriffe und Konzepte kennen lernen 32

Graphen für Gleichungen im Vergleich zu Ungleichungen 33

Informationen aus Graphen ablesen 34

Der Umgang mit dem graphischen Taschenrechner 36

Kapitel 2 Reelle Zahlen 39

Ungleichungen lösen 39

Eine kurze Wiederholung zu Ungleichungen 39

Gleichungen und Ungleichungen mit Absolutwerten lösen 40

Lösungen für Ungleichungen unter Verwendung der Intervallnotation ausdrücken 42

Variationen zur Division und Multiplikation: Wurzeln und Exponenten 44

Wurzeln und Exponenten definieren und einander zuordnen 44

Wurzeln als Exponenten umschreiben (oder rationale Exponenten erzeugen) 45

Eine Wurzel aus dem Nenner entfernen: Rationalisieren 46

Kapitel 3 Die Voraussetzung für die Grundlagen der Analysis: Funktionen 49

Eigenschaften gerader und ungerader Funktionen und ihre Graphen 49

Grundfunktionen (die gebräuchlichsten) und ihre Graphen 50

Quadratische Funktionen 50

Quadratwurzelfunktionen 51

Absolutwertfunktionen 52

Kubikfunktionen 52

Kubikwurzelfunktionen 53

Transformation der Grundgraphen 54

Vertikale Transformationen 55

Horizontale Transformationen 56

Translationen 57

Spiegelungen 59

Kombinationen verschiedener Transformationen (selbst wieder eine Transformation!) 60

Punktweise Transformation von Funktionen 62

Graphen für Funktionen erstellen, die mehrere Regeln verwenden: Stückweise Funktionen 63

Ausgabewerte für rationale Funktionen berechnen 65

Schritt 1: Suche nach vertikalen Asymptoten 65

Schritt 2: Suche nach horizontalen Asymptoten 66

Schritt 3: Schräge Asymptoten suchen 67

Schritt 4: Die x- und y-Schnittpunkte finden 67

Die Ergebnisse umsetzen: Graphen rationaler Funktionen 68

Der Nenner hat den höheren Grad 68

Zähler und Nenner haben denselben Grad 71

Der Zähler hat den höheren Grad 72

Operationen auf Funktionen: Ganz ohne Skalpell 73

Addieren und Subtrahieren 74

Multiplizieren und Dividieren 75

Die Verknüpfung von Funktionen verstehen 76

Anpassung des Definitionsbereichs und des Wertebereichs verknüpfter Funktionen (falls nötig) 76

Wechselspiele mit inversen Funktionen 79

Den Graphen einer Inversen darstellen 79

Invertierung einer Funktion, um ihre Inverse zu finden 81

Eine Inverse überprüfen 81

Kapitel 4 Nullstellen finden und nutzen, um die Graphen von Polynomfunktionen darzustellen 83

Die Bedeutung von Graden und Nullstellen 83

Einen Polynomausdruck faktorisieren 85

Immer der erste Schritt: Die Suche nach einem ggT 86

Bringen Sie Ordnung hinein: Die EAIL-Methode für Trinome 87

Spezielle Polynomtypen erkennen und faktorisieren 89

Gruppieren, um vier oder mehr Terme zu faktorisieren 92

Die Nullstellen einer faktorisierten Gleichung bestimmen 94

Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Quadratformel) - falls nicht faktorisiert werden kann 94

Die Quadratformel anwenden 95

Die quadratische Ergänzung 95

Nicht faktorisierbare Polynome mit einem höheren Grad als 2 auflösen 97

Alle Nullstellen eines Polynoms zählen 97

Die reellen Nullstellen erkennen: Die Vorzeichenregel von Descartes 97

Imaginäre Nullstellen zählen: Der Fundamentalsatz der Algebra 98

Reelle Nullstellen raten und prüfen 100

Und jetzt rückwärts: Mit Hilfe von Lösungen Faktoren finden 106

Graphen von Polynomen zeichnen 107

Wenn alle Nullstellen reelle Zahlen sind 107

Wenn einige (oder alle) der Nullstellen imaginäre Zahlen sind: Alle Techniken kombinieren 110

Kapitel 5 Exponentielle und logarithmische Funktionen 113

Exponentialfunktionen 114

Die wichtigsten Eigenschaften einer Exponentialfunktion 114

Graphendarstellung und Transformation einer Exponentialfunktion 116

Logarithmen: Die Umkehr der Exponentialfunktionen 118

Logarithmen in den Griff kriegen 118

Eigenschaften und Beziehungen von Logarithmen 119

Die Basis eines Logarithmus ändern (wenn es sich um keinen natürlichen oder allgemeinen Logarithmus handelt) 120

Eine Zahl berechnen, deren Logarithmus Sie kennen: Inverse Logarithmen 121

Graphen von Logarithmen 121

Gleichungen mit Exponenten und Logarithmen lösen 125

Die Lösung von Exponentialgleichungen schrittweise erklärt 125

Schritte zur Lösung logarithmischer Gleichungen 127

Textaufgaben mit Exponentialgleichungen lösen 129

Teil II Die Wichtigsten Grundlagen Der Trigonometrie 133

Kapitel 6 Winkel und der Einheitskreis 135

Bogenmaß: Das Basis-Maß in den Grundlagen der Analysis 135

Trigonometrische Verhältnisse: Rechtwinklige Dreiecke einen Schritt weiter führen 136

Einen Sinus schaffen 137

Die Suche nach dem Kosinus 138

Weiter zum Tangens 139

Die Kehrseite: Reziproke trigonometrische Funktionen 140

Die Umkehr: Inverse trigonometrische Funktionen 141

Trigonometrische Verhältnisse und ihr Verhalten in der Koordinatenebene 142

Den Einheitskreis in den Griff bekommen 145

Machen Sie sich mit den gebräuchlichsten Winkeln vertraut 145

Ungebräuchliche Winkel zeichnen 146

Spezielle Winkelverhältnisse 148

Der 45er: 45°-45°-90°-Dreiecke 148

Das alte 30-60: 30°-60°-90°-Dreiecke 149

Zusammenführung von Dreiecken und dem Einheitskreis: Einigkeit macht stark! 150

Die wichtigsten Winkel ohne Winkelmesser korrekt platzieren 151

Werte trigonometrischer Funktionen auf dem Einheitskreis finden 153

Den Referenzwinkel finden, um nach Winkeln auf dem Einheitskreis aufzulösen 158

Nicht nur was für Robin Hood: Bögen erstellen und messen 163

Kapitel 7 Graphen und Transformationen von trigonometrischen Funktionen 165

Grundgraphen für Sinus und Kosinus skizzieren 165

Der Sinus-Graph 166

Der Kosinus-Graph 168

Die Graphen von Tangens und Kotangens 169

Tangens 170

Kotangens 172

Sekans und Kosekans in Bildern 174

Sekans 174

Kosekans 176

Trigonometrische Graphen transformieren 177

An den Graphen von Sinus und Kosinus herumbasteln 178

Änderung der Amplitude 178

Graphen von Tangens und Kotangens anpassen 179

Die Graphen von Sekans und Kosekans transformieren 192

Kapitel 8 Trigonometrische Identitäten: Die Grundlagen 197

Bedenke das Ende: Eine schnelle Einführung in…