Grundzüge der Mathematischen Logik

Prolegomena 1. Die Logik, die in diesem Lehrbuch entwickelt wird, ist bestimmt durch die folgenden Kennzeichen: (1) Sie fuBt auf derselben Ontologie wie die von erkennbaren Wider sprlichen befreite und in diesem Sinne vertretbare klassische Mathe matik. Flir diese Ontologie ist charakteristisch die Grundvoraussetzung, daB die Objekte der Mathematik und mit ihnen die mathematischen Bereiche an sich existieren, wie die platonischen Ideen. Mit Bezug auf diesen An-sich-Charakter sprechen wir von einer platonischen Ontologie. Flir diese Ontologie existieren die unendlichen Bereiche beliebig hoher Machtigkeit als fertig vorliegende Objekte in derselben Art wie die durch Aufzahlung ihrer Elemente erfaBbaren endlichen Mengen und in gleichem Range mit ihnen. Die weittragenden Folgen dieser Auffassung sind in zwei Haupt punkten konzentriert. Erster Hauptpunkt: die Beurteilung der Potenz mengen. Mit den abzahlbaren Mengen existieren, genauso wie im end lichen Falle, auch ihre Potenzmengen, mit dem ihnen zukommenden Charakter der Uberabziihlbarkeit. Das Uberabzahlbare steht also gleich berechtigt neben dem Abzahlbaren. Zweiter Hauptpunkt: der flir den Platonismus charakteristische Gehalt des ausgeschlossenen Dritten. Es genligt hier, die mengentheoretische Formulierung dieses Prinzips ins Auge zu fassen. Sie besagt, daB eine flir die Elemente einer beliebigen Menge, also mit EinschlieBung der unendlichen Mengen von einer be liebigen Machtigkeit erklarte Eigenschaft allen Elementen der Menge zukommt oder es gibt (wenigstens) ein Mengenelement, dem sie nicht zukommt, unabhangig davon, ob ein solches Element angegeben werden kann oder nicht. Ein Anwendungsfall ist das der elementaren Zahlen theorie angeh6rige Prinzip der kleinsten Zahl.

Inhalt
§ 1. Prolegomena.- § 2. Einführung in die Satzlogik.- § 3. Einführung in die Regellogik. Der Zusammenhang von Satzlogik und Regellogik.- § 4. Aufgabe und Charakter einer mathematischen Logik.- § 5. Grundlagen einer metasprachlichen Aussagentheorie.- § 6. Zur Logik und Symbolik der Metasprache.- § 7. Zeichen für Zeichen.- Erstes Hauptstück: Aussagenkalkül.- A) Konstituierung des Aussagenkalküls.- B) Semantik.- C) Deduktionstheoretische Betrachtungen.- Zweites Hauptstück: Prädikatenkalkül.- A) Allgemeine Grundlegung.- B) Semantik.- C) Syntax.- D) Beziehungen zwischen Semantik und Syntax im PFK.- Drittes Hauptstück: Prädikatenkalkül mit Identität (I-Kalkül).- A) Allgemeine Grundlegung.- B) Semantik.- C) Syntax.- D) Beziehungen zwischen Syntax und Syntax im IFK.- Viertes Hauptstück: Einführung in die Stufenlogik.- A) Die Logik der zweiten Stufe.- B) Die volle Typentheorie.- C) Erweiterungen der Typenlogik.- Fünftes Hauptstück: Die Theoreme von Church und Gödel.- § 230. Einleitung: Unmöglichkeitstheoreme.- § 231. Charakterisierung von arithmetischen Attributen im PFK*.- § 232. Vorläufige Definition von 1D518. Das Diagonalverfahren.- § 233. Die Arithmetisierung: Definition von H(m).- § 234. Reguläre Definitionen zur Arithmetisierung.- § 235. Die regulären Definitionen von echt regulären Attributen.- § 236. Argumente für die Angemessenheit der regulären Definitionen als Normalform für Aufzählungsverfahren.- § 237. Die Unentscheidbarkeit des Prädikatenkalküls.- § 238. Die Nichtaxiomatisierbarkeit der Stufenlogik.- Anhang: Regellogik.- § 250. Einführung in die Regellogik.- § 251. Der aussagenlogische Sequenzenkalkül (ASK).- § 252. Erweiterung zum Konsequenzenkalkül für die PL (PSK).- Namen- und Sachverzeichnis.