Separabilität in kommutativen und auflösbaren Algebren. Unter Berücksichtigung nicht-unitärer assoziativer Algebren; mit 241 Übungsaufgaben

Unter den Voraussetzungen des Satzes von Wedderburn-Malcev wird die Existenz eines Radikalkomplementes garantiert. Deshalb stellen sich sofort zwei Fragen: Wie berechnet man ein Radikalkomplement und wie stellt man ein Element der Algebra als Summe aus einem Radikalelement und aus einem Element eines Radikalkomplementes dar? Diese Fragen beantworten wir für kommutative und für auflösbare Algebren. Die Menge der separablen Elemente spielt dabei ebenso wie eine verallgemeinerte Konstruktion der Jordan-Zerlegung eine zentrale Rolle. Wir illustrieren die Ergebnisse an verallgemeinerten Quaternionenalgebren.

Autorentext

Sven Bodo Wirsing was born in 1975 in Neumünster. After graduating from high school at KKS in Itzehoe (with a focus on mathematics and physics), he studied mathematics with a minor in business administration (especially logistics) at CAU university in Kiel. He did his doctorate in 2005 on group and algebra theory. During his years of study in Kiel he gained experience in the analysis of interdisciplinary processes, which are reflected in different disciplines of algebra, such as group theory, representation theory, theory of Lie and associative algebras. From this experience, he also studied and analyzed the subject matter of the present work. Since the end of his doctorate, Dr. Wirsing has been working as a senior IT consultant for logistics processes at several renowned companies where he is responsible for logistics optimization and maintenance. Since 2012 he has published several books on algebras.

Leseprobe
Textprobe:
Einleitung:
In der Strukturtheorie assoziativer Algebren spielen das Nilradikal und seine Faktorstruktur eine zentrale Rolle. Das Nilradikal führt zur Untersuchung nilpotenter und seine Faktorstruktur zur Untersuchung halbeinfacher Algebren. Ist die Radikalfaktorstruktur einer endlich-dimensionalen assoziativen unitären Algebra separabel, so besagt der Satz von Wedderburn-Malcev, dass die Algebra eine zur Radikalfaktorstruktur isomorphe Teilalgebra besitzt und dass je zwei solche Teilalgebren, die in dieser Arbeit auch Radikalkomplemente genannt werden, unter der Einheitengruppe der Algebra konjugiert sind. Eine Einführung in diese Theorie wird im ersten Kapitel dieser Arbeit bereitgestellt. Dort betrachten wir auch Beispiele separabler Algebren und Beispiele zur Thematik des Satzes von Wedderburn-Malcev.
In der gängigen Literatur wird der Satz von Wedderburn-Malcev durchweg nur für unitäre Algebren bewiesen. Anschließend wird kurz erwähnt, dass jede Algebra in eine unitäre eingebettet und demzufolge der Satz auch für nicht notwendig unitäre Algebren gilt (vgl. z.B. [4], erster Absatz auf Seite 3). Somit ist ein Vorschlag für diese Erweiterung vorhanden, doch existiert in der gängigen Literatur kein Beweis dazu. Deswegen widmen wir uns diesem Beweis in Kapitel 2 dieses Werkes. Durch eine genaue Analyse der im ersten Abschnitt dieses Kapitels (Adjunktion einer Eins) vorgestellten Einbettung sowie durch eine Untersuchung halbeinfacher Algebren in Hinblick auf die Existenz eines Einselementes können wir im zweiten Abschnitt die Existenzaussage des Satzes von Wedderburn-Malcev für nicht notwendig unitäre Algebren beweisen. Danach stellt sich die Frage, in welchem Sinne zwei Radikalkomplemente in nicht-unitären Algebren konjugiert sein könnten. Deswegen betrachten wir im dritten Abschnitt die Sterngruppe, eine Verallgemeinerung der Einheitengruppe einer assoziativen Algebra. Das Zusammenspiel der Sterngruppe mit der Adjunktion einer Eins wird untersucht mit dem Ergebnis, dass je zwei Radikalkomplemente unter der Sterngruppe konjugiert sind. Das bedeutet, dass die Sterngruppe vermöge Konjugation transitiv auf der Menge der Radikalkomplemente operiert. Demzufolge widmen wir uns im vierten Abschnitt dieser Operation und bestimmen den zugehörigen Stabilisator und somit auch die Kardinalität der Menge der Radikalkomplemente. Im Falle der Algebra der unteren Dreiecksmatrizen werden wir diese Kardinalität explizit berechnen. Im letzten Abschnitt des zweiten Kapitels beginnen wir mit der Untersuchung von Verträglichkeitsbeziehungen des Satzes von Wedderburn-Malcev mit Teil- und Faktorstrukturen. Dabei liegt dieser Untersuchung die Idee zu Grunde, aus Radikalkomplementen der Algebra Radikalkomplemente für Teil- und Faktorstrukturen zu gewinnen. Dass keine allgemeinen Resultate für Teilalgebren zu erwarten sind, wird an einem Beispiel gezeigt. Allerdings liefern eine Schnittbildung bei zentralen Teilalgebren und Idealen sowie eine Faktorisierung bei Faktorstrukturen befriedigende Ergebnisse.
Da unter den Voraussetzungen des Satzes von Wedderburn-Malcev die Existenz eines Radikalkomplementes garantiert wird, stellen sich sofort zwei Fragen: Wie berechnet man konkret ein Radikalkomplement und wie stellt man ein Element der Algebra als Summe aus einem Radikalelement und einem Element eines Radikalkomplementes konstruktiv dar? Diesen Fragen und der der Verträglichkeit mit Teilstrukturen gehen wir in den nächsten Kapiteln nach, sie sind die Hauptfragen dieser Arbeit. Allerdings spezialisieren wir nun die betrachteten Algebren und erhalten dadurch Antworten auf unsere Fragestellungen.
In Kapitel 3 betrachten wir auflösbare assoziative Algebren, die in der einschlägigen Literatur noch nicht behandelt wurden. Lediglich in [2] werden einige verblüffende Strukturaussagen über auflösbare Algebren hergeleitet, nicht zuletzt motiviert durch Solomons Algebra und deren enge Verknüpfung mit der Darstellungsth