Über die Struktur der Solomon-Tits-Algebren der symmetrischen Gruppen: Eine Analyse assoziativer, gruppentheoretischer und Lie-theoretischer Phänomene; mit 218 Übungsaufgaben

Das vorliegende Buch beschäftigt sich mit der Struktur der Solomon-Tits-Algebren der symmetrischen Gruppen motiviert durch Forschungsergebnisse von Manfred Schocker zur Modulstruktur dieser Algebren. Mit Struktur sind hier gleichsam drei Strukturen gemeint: die assoziative, die der zugehörigen Einheitengruppe und die der assoziierten Lie-Algebra. Im Laufe des Buches wird verdeutlicht, dass diese Strukturen in Beziehung stehen und deren Analyse in dem allgemeineren Rahmen von assoziativen Algebren mit selbstzentralem Radikalkomplement durchgeführt werden kann. Konkret werden u. a. folgende Thematiken analysiert: Dimensionsformeln, Zusammenhang zu Duo-Algebren, Selbstzentralität der Radikalkomplemente, Cartan-Teilalgebren, Sylow-Untergruppen, Hall-Untergruppen, Carter-Untergruppen, Stagnation von Zentralreihen, auflösbare Stufen und Nilpotenzklassen, Nilradikal und Fittinguntergruppe, halbeinfache und einfache Teilstrukturen, Antiautomorphismen sowie irreduzible Charakterwerte.

Autorentext

Sven Bodo Wirsing was born in 1975 in Neumünster. After graduating from high school at KKS in Itzehoe (with a focus on mathematics and physics), he studied mathematics with a minor in business administration (especially logistics) at CAU university in Kiel. He did his doctorate in 2005 on group and algebra theory. During his years of study in Kiel he gained experience in the analysis of interdisciplinary processes, which are reflected in different disciplines of algebra, such as group theory, representation theory, theory of Lie and associative algebras. From this experience, he also studied and analyzed the subject matter of the present work. Since the end of his doctorate, Dr. Wirsing has been working as a senior IT consultant for logistics processes at several renowned companies where he is responsible for logistics optimization and maintenance. Since 2012 he has published several books on algebras.

Leseprobe
Textprobe:
Kapitel Einleitung:
Die Algebra:
Sie ist strukturierend und klar, voller Witz und Wunder, wenn man ist ihr nah. Sie bleibt selten auf einer ihrer Schienen, sondern verbindet die Disziplinen. Sie zieht mich in ihren Bann, in dem ich auch mal rechnen kann. Ein Leben lang mag ich an sie denken, ob sie mir wird weitere Ergebnisse schenken? Sie ist einfach wunderbar, die K onigin, die Algebra. (Sven Wirsing, im Mai 2013)
Im Jahre 2003 hielt Manfred Schocker im Oberseminar Algebrentheorie an der Christian-Albrechts-Universit at zu Kiel einen Vortrag uber seine neuesten Forschungsergebnisse zu der Modul-Struktur der Solomon-Tits-Algebra Tn der symmetrischen Gruppe Sn, die sp ater in dem Artikel [16] im Journal of Algebra von ihm ver oentlicht worden sind (Eine Vorversion zu diesem Artikel ist im Internet unter frei zug anglich.). Zu dieser Zeit war ich als Promotions-Student Teilnehmer an diesem Oberseminar, dass von den Professoren Dieter Blessenohl und meinem Doktorvater Hartmut Laue geleitet wird. Der anregende Vortrag von Manfred Schocker war eine der Motivationen, mich n aher mit Tn zu befassen.
Die Solomon-Tits-Algebra leitet sich von einer speziellen Halbgruppenstruktur auf der Menge der Simplizes eines Coxeter1-Komplexes assoziiert zur symmetrischen Gruppe ab. Sie wurde urspr unglich von Jacques Tits in einem Anhang zu der Arbeit von Louis Solomon in [18] betrachtet. Die Simplizes stehen in 1-1-Korrespondenz zu den geordneten Mengenpartitionen n der Menge n:= f1; ; ng. Die Halbgruppenstruktur auf der Menge der Simplizes des Coxeter-Systems ndet ihr Analogon auf der Menge der geordneten Mengenpartitionen wieder: Sind (P1; ; Pl) und (Q1; Qk) zwei geordnete Mengenpartitionen, so ist ihr Produkt ^n deniert durch (P1; ; Pl) ^n (Q1; ;Qk):= (P1 Q1; P1 Q2; ; P1 Qk; ; Pl Q1; Pl Q2; ; Pl Qk);.
Das Symbol ; bedeutet, das leere Mengen aus diesem Tupel entfernt werden. Es kann eingesehen werden, dass die Verkn upfung eine Halbgruppenstruktur auf n deniert, sowie (n) neutral und jedes Element von n ein Idempotent bzgl. ^n ist. Ist K ein K orper, so ist die zu Tn isomorphe Monoidalgebra K n in diesem Buch der Gegenstand der Forschung: die Solomon-Tits-Algebra der symmetrischen Gruppe. Manfred Schocker beschreibt in seinem Artikel die Modul-Struktur der Solomon- Tits-Algebren der symmetrischen Gruppen. Diese Beschreibung beinhaltet u.a. die Konstruktion primitiver Idempotente, die Zerlegung in unzerlegbare Prinzipal-Moduln (PIM), die Beschreibung der Cartan2-Matrix, die Bestimmung der Nilpotenzl ange des Jacobson3-Radikals, eine Beschreibung eines Radikalkomplementes mit orthogonalen unzerlegbaren Idempotenten, eine Beschreibung des Ext-Quivers und der absteigenden Loewy4-Reihe, um nur einige der Ergebnisse aus seinem Artikel zu nennen. Die Grundlage seiner Resultate ist der Ubergang von der nat urlichen Basis n aus Idempotenten zu einer neuen Basis aus Idempotenten, mit denen Manfred Schocker seine Untersuchungen durchf uhrt. Seine Ergebnisse bilden die Basis einiger Ergebnisse in diesem Buch.
Die symmetrische Gruppe Sn agiert auf der Menge n in nat urlicherweise auf den Komponenten ihrer Elemente durch (P1; ; Pl) := (P1 ; ; Pl ) f ur alle (P1; ; Pl) 2 n und 2 Sn. Diese Gruppenaktion respektiert das Produkt ^n auf n, also ist der Fixraum von Sn in K n eine Teilalgebra der Solomon-Tits Algebra. Patrick Bidigare zeigt in seinem Artikel [5], dass dieser Fixraum zu der sogenannten Solomon-Algebra Dn isomorph ist, eine Algebra, die in der Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppen eine wichtige Rolle spielt und in vielen neuen Artikeln und Arbeiten ins Blickfeld der Forschung ger uckt ist. Eine gute Literatur ubersicht hierzu ist z.B. in den Arbeiten von Manfred Schocker [16] und Thorsten Bauer [3] enthalten.
Das Einwirken der Solomon-Algebra in verschiedenen kombinatorischen und algebraischen Kontexten veranla